Factorizacion
en las que se descompone la expresión se llaman factores.
La factorización se basa en la propiedad distributiva del producto respecto a la adición, es decir:
Factorizar significa descomponer una expresión en un producto de dos o más partes. Éstas partes
Existen varios casos de factorización :
Ø Factor comun monomio:
Ø Factor comun polinomio:
Ø Factor comun por agrupamiento
Ø Fctorizacion de un trinomio de la forma x2 + bx + c
Ø Fctorizacion de un trinomio de la forma ax2+ bx + c
Ø Factorizacion de la diferencia de dos cuadrados:
Ø Factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto:
FACTOR COMÚN MONOMIO: es el factor que está presente en cada término del polinomio :
Ejemplo N° 1: ¿ cuál es el factor común monomio en 12x + 18y - 24z ?
Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y - 6· 4z = 6(2x + 3y - 4z )
Ejemplo N° 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en : 5a2 - 15ab - 10 ac
El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a, por lo tanto
5a2 - 15ab - 10 ac = 5a·a - 5a·3b - 5a · 2c = 5a(a - 3b - 2c )
Ejemplo N° 3 : ¿ Cuál es el factor común en 6x2y - 30xy2 + 12x2y2
El factor común es “ 6xy “ porque
6x2y - 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x - 5y + 2xy )
Realiza los siguientes ejercicios :
EJERCICIOS. Halla el factor común de los siguientes ejercicios :
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FACTOR COMUN POLINOMIO: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :
EJEMPLO N° 1.
Factoriza x(a + b ) + y( a + b ) =
Existe un factor común que es (a + b ) = x(a + b ) + y( a + b ) =
= ( a + b )( x + y )
EJEMPLO N° 2.
Factoriza 2a(m - 2n) - b (m - 2n ) =
= 2a(m - 2n) - b (m - 2n )
= (m - 2n )( 2a - b )
EJERCICIOS
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FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO: Se trata de extraer un doble factor común.
EJEMPLO N°1.
Factoriza ap + bp + aq + bq
Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos
p(a + b ) + q( a + b )
Se saca factor común polinomio
( a + b ) ( p + q )
EJERCICIOS :
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FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA x2 + bx + c
El trinomio de la forma x2 + bx + c se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso :
EJEMPLO N° 1. Descomponer x2 + 6x + 5
1° Hallar dos factores que den el primer término x · x
2° Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”
1 · 5 ó -1 ·-5
pero la suma debe ser +6 luego serán (x + 1 )( x + 5 )
EJEMPLO Nº 2:
Factorizar x2 + 4xy - 12y2
1º Hallar dos factores del primer término, o sea x2 : x · x
2º Hallar los divisores de 12y2 , éstos pueden ser : 6y · -2y ó -6y · 2y
ó 4y · -3y ó -4y · 3y
ó 12y · -y ó -12y · y
pero la suma debe ser +4 , luego servirán 6y y -2y, es decir
x2 + 4xy - 12y2 = ( x + 6y )( x - 2y )
EJERCICIOS:
Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :
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FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA ax2+ bx + c
EJEMPLO
Factoriza 2x2 - 11x + 5
1º El primer término se descompone en dos factores 2x · x
2º Se buscan los divisores del tercer término 5 · 1 ó -5 · -1
3º Parcialmente la factorización sería ( 2x + 5 )( x + 1 )
pero no sirve pues da : 2x2 + 7x + 5
se reemplaza por ( 2x - 1 )( x - 5 )
y en este caso nos da : 2x2 - 11x + 5
EJERCICIOS :
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FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:
EJEMPLO:
Factorizar 9x2 - 16y2 =
Para el primer término 9x2 se factoriza en 3x · 3x
y el segundo término - 16y2 se factoriza en +4y · -4y
luego la factorización de 9x2 - 16y2 = ( 3x + 4y )( 3x - 4y )
EJERCICIOS:
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FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
Ejemplo:
Factorizar 9x2 - 30x + 25 =
1° Halla la raíz principal del primer término 9x2 : 3x · 3x
2° Halla la raíz principal del tercer término 25
con el signo del segundo término -5 · -5
luego la factorización de 9x2 - 30x + 25 = (3x - 5 )( 3x - 5 ) = ( 3x - 5 )2
EJERCICIOS:
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EJERCICIOS DIVERSOS:
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