TRIANGULOS

TRIANGULOS

Un triángulo, en geometria, es un poligono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vertices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Por sus lados, los triángulos se clasifican como sigue:

 

 

Equilátero: tiene sus tres lados iguales.

 

Isósceles: cuenta con dos lados iguales.

 

 

 

Escaleno: posee tres lados diferentes.

Por la amplitud de sus lados, los triángulos se clasifican así:

Rectángulo: un ángulo es recto

 

Acutángulo: los tres ángulos interiores son agudos

 

 

Obtusángulo: un ángulo interior es obtuso

 

PROPIEDADES DE LOS TRIANGULOS

1.- Si un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

a < b + c

a > b - c

 

2.- La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

A + B + C =180º

3.- El valor de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

α = A + B

α = 180º - C

4.- En un triangulo a mayor lado se opone mayor ángulo 

EJERCICIOS

1 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 415 m y b = 280 m. Resolver el triángulo.

2 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 33 m y c = 21 m. Resolver el triángulo.

3 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 45 m y B = 22°. Resolver el triángulo.

4 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 5.2 m y B = 37º. Resolver el triángulo.

5 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo.

6 Calcula las razones de los siguientes ángulos:

1225°

2 330°

3 2655°

4  −840º

7Comprobar las identidades:

1

2

3

4

5

8 De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 5 m y B = 41.7°. Resolver el triángulo

9De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b = 3 m y B = 54.6°. Resolver el triángulo.

10De un triángulo rectángulo ABC, se conocen a = 6 m y b = 4 m. Resolver el triángulo.

 

Circunferencia

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Definición la circunferencia es una figura plana cuyos puntos equidistan de un punto llamado centro.

Definición: círculo es la superficie plana limitada por la circunferencia.

Semicircunferencia: Mitad de una circunferencia.

Semicírculo: Mitad de un círculo.
Circunferencia.

Elementos principales de la circunferencia:

Diámetro: Segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro.

Radio: segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.

Cuerda: Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Secante: Recta que corta en dos puntos a la circunferencia.

Tangente: Recta que toca en un punto a la circunferencia. 

TEOREMAS

Angulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.

La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

 

Angulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

 Angulo  semiinscrito: El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.



Mide la mitad del arco que abarca.

Angulo interior: su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.

Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Ángulo exterior: Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia:

Posiciones relativas de dos circunferencias:

Ejercicios:

01.   Dadas las circunferencias tangentes exteriores calcular el ángulo b

a) 25º

b) 36º

c) 42º

d) 72º

e) 144º

02.    Hallar x si:

a) 25º

b) 30º

c) 35º

d) 40º

e) 55º

03.   Calcular (a + b):

a) 360º

b) 450º

c) 540º

d) 270º180º

04.   Calcular x

a) 10º

b) 12º

c) 15º

d) 18º

e) 10º

05.   Calcular x

a) a – b

b) a + b                           

c) 2a – b

d) 3b – 2a

e) N.A.

factorizacion

                                                                                    Factorizacion

en las que se descompone la expresión se llaman factores.

La factorización se basa en la propiedad distributiva del producto respecto a la adición, es decir:

Factorizar significa descomponer una expresión en un producto de dos o más partes. Éstas partes

Existen varios casos de factorización :

Ø  Factor comun monomio:

Ø  Factor comun polinomio:

Ø  Factor comun por agrupamiento

Ø  Fctorizacion de un trinomio de la forma  x² + bx + c

Ø  Fctorizacion de un trinomio de la forma  ax²+ bx + c

Ø  Factorizacion de la diferencia de dos cuadrados:

Ø  Factorizacion de un trinomio cuadrado perfecto:

FACTOR COMÚN MONOMIO:  es el factor que está presente en cada término del polinomio :

Ejemplo N° 1: ¿ cuál es el factor común monomio en   12x + 18y - 24z ?

                Entre los coeficientes es el 6, o sea,  6·2x + 6·3y - 6· 4z  =  6(2x + 3y - 4z )

Ejemplo N° 2 : ¿ Cuál es el factor común monomio en :  5a² - 15ab  - 10 ac

                El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a,  por lo tanto

                5a² - 15ab  - 10 ac  =  5a·a - 5a·3b - 5a · 2c =  5a(a - 3b - 2c )

Ejemplo N° 3 : ¿ Cuál es el factor común en   6x²y - 30xy² + 12x²y²

                El factor común es   “ 6xy “  porque

                6x²y - 30xy² + 12x²y²  = 6xy(x - 5y + 2xy )

Realiza los siguientes ejercicios :

EJERCICIOS.    Halla el factor común de los siguientes ejercicios :

6x - 12 =	4x - 8y =
24a - 12ab =	10x - 15x2 =
14m2n + 7mn =	4m2 -20 am =
8a3 - 6a2 =	ax + bx + cx =
b4-b3 =	4a3bx - 4bx =
14a - 21b + 35 =	3ab + 6ac - 9ad =
20x - 12xy + 4xz =	6x4 - 30x3 + 2x2 =
10x2y - 15xy2 + 25xy =	12m2n + 24m3n2 - 36m4n3 =
2x2 + 6x + 8x3 - 12x4  =	10p2q3 + 14p3q2 - 18p4q3 - 16p5q4 =
m3n2p4 + m4n3p5 - m6n4p4 + m2n4p3 =

 FACTOR COMUN POLINOMIO: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión :

EJEMPLO N° 1.  

Factoriza                                                        x(a + b ) + y( a + b ) =

Existe un factor común que es  (a + b )        =  x(a + b ) + y( a + b ) =

                                                                                                  =  ( a + b )( x + y )

EJEMPLO N° 2.  

Factoriza                                                         2a(m - 2n) - b (m - 2n ) =

                                                                                                    = 2a(m - 2n) - b (m - 2n )

                                                                                                    =  (m - 2n )( 2a - b )

EJERCICIOS

a(x +  1) + b ( x + 1 ) =	m(2a + b ) + p ( 2a + b ) =
x2( p + q ) + y2( p + q ) =	( a2 + 1 ) - b (a2 + 1 ) =
( 1 - x ) + 5c( 1 - x ) =	a(2 + x ) - ( 2 + x ) =
(x + y )(n + 1 ) - 3 (n + 1 ) =	(a + 1 )(a - 1 ) - 2 ( a - 1 ) =
(a( a + b ) - b ( a + b ) =	(2x + 3 )( 3 - r ) - (2x - 5 )( 3 - r ) =

 FACTOR COMUN POR AGRUPAMIENTO: Se trata de  extraer un  doble factor común.

 EJEMPLO N°1.  

           Factoriza      ap + bp + aq + bq

Se extrae factor común “p” de los dos primeros términos y “q” de los dos últimos

                                               p(a + b ) + q( a + b )

Se saca factor común polinomio

                                               ( a + b ) ( p + q )

EJERCICIOS :                    

a2 + ab + ax + bx =	ab + 3a + 2b + 6 =
ab - 2a - 5b + 10 =	2ab + 2a - b - 1 =
am - bm + an - bn =	3x3 - 9ax2 - x + 3a =
3x2 - 3bx + xy - by =	6ab + 4a - 15b - 10 =
3a - b2 + 2b2x - 6ax =	a3 + a2 + a + 1 =
ac - a - bc + b + c2  - c =
6ac - 4ad - 9bc + 6bd + 15c2 - 10cd =
ax - ay - bx + by - cx + cy =
3am - 8bp - 2bm + 12 ap =
18x - 12 - 3xy + 2y + 15xz - 10z =

 FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA  x² + bx + c

El trinomio de la forma x² + bx + c  se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso :

EJEMPLO N° 1.        Descomponer       x² + 6x + 5

1° Hallar dos factores que den el primer término     x · x

2° Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”                 

    1 · 5    ó   -1 ·-5

                pero la suma debe ser +6 luego serán            (x + 1 )( x + 5 )

EJEMPLO Nº 2: 

Factorizar   x² + 4xy - 12y²

1º Hallar dos factores del primer término, o sea x² :           x · x

2º Hallar los divisores de  12y² , éstos pueden ser :                       6y · -2y     ó     -6y · 2y

                                                                                                              ó   4y · -3y      ó     -4y · 3y

                                                                                                              ó   12y · -y      ó    -12y · y

pero la suma debe ser +4 , luego servirán       6y  y  -2y, es decir

                               x² + 4xy - 12y² =  ( x + 6y )( x - 2y )

EJERCICIOS:

Factoriza los siguientes trinomios en dos binomios :

x2 + 4x + 3 =	a2 + 7a + 10 =
b2 + 8b + 15 =	x2 - x - 2 =
r2 - 12r + 27 =	s2 - 14s + 33 =
h2 - 27h + 50 =	y2 - 3y - 4 =
x2 + 14xy + 24y2 =	m2 + 19m + 48 =
x2 + 5x + 4 =	x2 - 12x + 35 =

FACTORIZACION DE UN TRINOMIO DE LA FORMA  ax²+ bx + c

EJEMPLO

Factoriza  2x² - 11x + 5

1º   El primer término se descompone en dos factores           2x  · x

2º   Se buscan los divisores del tercer término                    5 · 1      ó       -5 · -1

3º   Parcialmente la factorización sería           ( 2x + 5 )( x + 1 )

                pero no sirve pues da :                        2x² + 7x + 5

          se reemplaza por                               ( 2x - 1 )( x - 5 )

                y en este caso nos da  :                      2x² - 11x + 5

EJERCICIOS :

5x2 + 11x + 2 =	3a2 + 10ab + 7b2 =
4x2 + 7x + 3 =	4h2 + 5h + 1 =
5 + 7b + 2b2 =	7x2 - 15x + 2 =
5c2 + 11cd + 2d2 =	2x2 + 5x - 12 =
6x2 + 7x - 5 =	6a2 + 23ab - 4b2 =
3m2 - 7m - 20 =	8x2 - 14x + 3 =
5x2 + 3xy - 2y2 =	7p2 + 13p - 2 =
6a2 - 5a - 21 =	2x2 - 17xy + 15y2 =
2a2 - 13a + 15 =

 FACTORIZACION DE LA DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS:

EJEMPLO:   

 Factorizar                 9x² - 16y² =

Para el primer término  9x²  se factoriza en     3x · 3x

y el segundo término   - 16y² se factoriza en     +4y · -4y

luego la factorización de    9x²  - 16y²  = ( 3x + 4y )( 3x - 4y )

EJERCICIOS:

9a2 - 25b2 =	16x2 - 100 =
4x2 - 1 =	9p2 - 40q2 =
36m2n2 - 25 =	49x2 - 64t2 =
169m2 - 196 n2 =	121 x2 - 144 k2 =
3x2 - 12 =	5 - 180f2 =
8y2 - 18 =	3x2 - 75y2 =
45m3n - 20mn =	2a5 - 162 a3 =

FACTORIZACION DE UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

Ejemplo:

Factorizar     9x² - 30x + 25 =

1°  Halla la raíz principal del primer término 9x² :      3x · 3x

2°  Halla la raíz principal  del tercer  término 25

      con el signo del segundo término                            -5 · -5

luego  la factorización  de  9x² - 30x + 25  =  (3x - 5 )( 3x - 5 )  = ( 3x - 5 )²

EJERCICIOS:

b2 - 12b + 36 =	25x2 + 70xy + 49y2 =
m2 - 2m + 1 =	x2 + 10x + 25 =
16m2 - 40mn + 25n2 =	49x2 - 14x + 1 =
36x2 - 84xy + 49y2 =	4a2 + 4a + 1 =
1 + 6ª + 9a2 =	25m2 - 70 mn + 49n2 =
25a2c2 + 20acd + 4d2 =	289a2 + 68abc + 4b2c2 =
16x6y8 - 8 x3y4z7 + z14 =

EJERCICIOS DIVERSOS:

2ab + 4a2b - 6ab2 =	2xy2 - 5xy + 10x2y - 5x2y2 =
b2 - 3b - 28 =	a2 + 6a + 8 =
5a + 25ab =	bx - ab + x2 - ax =
6x2 - 4ax - 9bx + 6ab =	ax + ay + x + y =
8x2 - 128 =	4 - 12y + 9y2 =
x4 - y2 =	x2 + 2x + 1 - y2 =
(a + b )2 - ( c + d)2 =	a2 + 12ab + 36b2 =
36m2 - 12mn + n2 =	x16 - y16  =